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第四周，这周介绍优先队列以及基本符号表。

Week4

Priority Queues

什么是优先队列？

优先队列是一种数据结构，与普通的队列Queue是类似的，可以插入、删除、遍历队列中的元素。不同之处在于，在删除元素时，优先队列可以删除队列中最大/最小的元素。也就是说，在优先队列中，元素被赋予优先级。具有最高优先级的元素最先删除。

如何实现（Java）？

根据优先队列的特点，自然而然，我们想到优先队列的API应该有：初始化队列、插入元素、删除最高优先级元素（我们以删除最大值元素为例），锁定最高优先级元素——即进行比较等主要功能。

优先队列的关键在于：锁定优先级最高（最大值）的元素。如何做到呢？

队列的实现可以用链表来实现，也可以用数组来实现。

1. 用链表来实现，我们可以每次插入新元素时进行遍历排序，提前排好元素位置，保证队列末尾时最大值，这样删除操作只需要删除链表末尾的元素即可；
2. 或者用数组来实现，插入新元素的操作很简单，时间复杂度为$O(1)$，删除元素时，我们需要遍历数组，找到最大值，然后进行删除；

上面两个方法，要么在插入操作上，要么在删除操作上，都需要遍历——时间复杂度为$O(N)$。很明显过于复杂，是否有方法可以优化呢？

有，Binary Heaps(二叉堆)。

Binary Heaps(二叉堆)

什么是二叉堆？

二叉堆形似二叉树，父元素总比子元素优先级高（在此例中是比子元素大），一个父结点有两个子节点，所以二叉堆的高度只有在$2^N$时增加。高度是$[lgN]$。

Java如何实现？

由二叉堆的定义可知，队列的最大值总是在二叉堆的根部，所以删除元素时，只需要删除二叉堆的根部元素即可——可以将二叉堆的根部元素与最末尾的元素（最底层子元素）互换，删除交换后位于最末尾的最大元素，然后将暂时位于根部的子元素，根据二叉堆原则——根部元素总是要大于子元素，进行交换安置，完成删除操作；这一步有从上往下比对的操作sink(k）：

插入元素时，首先将元素直接作为子节点插入二叉堆的末尾，然后不断比对子节点与父节点，直至子节点小于父节点，或者无父节点，如果子节点比父节点大，则进行交换，完成插入操作。这一步有从下往上比较的操作swim(k):

时间复杂度是多少？插入insert的时间复杂度为$logN$，删除最大值delmax的时间复杂度为$logN$。

比对用数组、链表实现的优先队列：

二叉堆排序应用：Heapsort

Heapsort是二叉堆的排序应用，称为堆排序。理解起来其实很简单，二叉堆的结构是最大的元素总是在根部，即我们每进行一次sink，总是能在根部获得数组最大值。那我们，先从二叉堆根部开始，进行exch与sink结合的操作，每次将最大值与最小子结点交换，然后sink最小子节点与剩下的元素，得到第二大的元素，不断循环操作，完成排序。

实现步骤：

1. 使用冒泡法先将乱序的待排序列创建为二叉堆
   
2. remove the maximum（移除根节点），然后对剩下的array进行sink
   
   

时间复杂度最差为$2NlgN$,最好为$NlgN$，平均为$NlgN$。

优先队列的应用举例——A*算法

本次实验，涉及到A*算法。学习链接如下：

A *算法：是一种用于图形遍历和路径搜索的启发式搜索算法、最佳优先算法。

A *算法通过维护始于起始节点的路径树，并一次扩展一条路径，指导满足其终止条件。在每次循环中A *需要确定扩展的路径——最小化路径。根据成本函数：$f(n)=g(n)+h(n)$

其中，$n$是路径上的下一个节点；$g(n)$是从起始点到$n$的路径成本；$h(n)$是启发式函数，用于估算$n$到目标节点的最便宜成本。一般是曼哈顿距离。

A *的典型应用是使用优先队列，每次选择最小$f(n)$(成本）的节点，此优先队列成为开放集。在算法的每个步骤中，从队列中删除具有最低成本的节点，并更新其相连节点的f和g的值后，将相邻节点添加到队列中，直到删除节点是目标节点后结束。

8-puzzle实现分析：

首先定义了一个Board对象，用来描述$N\times N$的一个数据结构。

可以将每种排列方式看成一个节点，而周边节点则是滑块移动后可能出现的排列方式。 将初始节点放入priority queue（优先队列）中 ，然后得到优先级最高的节点，并计算其相邻的节点，放入priority queue中，持续此过程，直到节点与目标节点相同为止。具体来说：

1. 将initial放入优先队列中（优先级是队列中的元素与goal的曼哈顿距离，以及initial移动到队列中元素的距离moves之和）；
2. 如果队列不为空，则从优先级队列中取出优先级最高的Board；
3. 判断2中取出的board是否为goal board
   a. 如果是，得到了最终的goal board，可以找出最短路径，得到结果；
   b. 如果不是，找出这个board的neighbour（即移动一次得到的所有board），放入优先级队列中。转2.

游戏树

将计算过程看作一个游戏决策树，每一个搜索节点都是游戏树上的一个节点，树的孩子对应节点的相邻搜索节点。每一步都会从队列中拿出优先级最高的节点，并将它相邻节点，放入游戏树和优先队列中。

Elementary Symbol Tables

Symbol Tables(符号表）

什么是符号表？

符号表是一种存储键值对的数据结构，支持两种操作：将新的键值对插入符号表中；根据给定的键值查找对应的值。

无序符号表API:

有序符号表API：

操作时间复杂度：

顺序查找 vs 二分查找

无序表

有序表

二叉查找树BST

什么是二叉查找树？

二叉查找树BST全称为，Binary Search Trees，是一种数据结构，具有下列性质的二叉树：

1. 如果任意节点的左子树不空，则左子树上所有节点的值都小于它的根节点的值；
2. 如果任意节点的右子树不空，则右子树上所有节点的值都大于它的根节点的值；
3. 任意节点的左、右子树也是二叉查找树。
   

private class Node{
   	private Key key;	private Value val;	private Node left, right;	public Node(Key key, Value val)	{
   		this.key = key;		this.val = val;	}}

BST的API：

具体实现put操作，如下：

public void put(Key key, Value val){
   	root =  put(root, key, val);}private Node put(Node x, Key key, Value val){
   	if(x == null) return new Node(key, val);	int cmp = key.compareTo(x.key);	if( cmp < 0 ) x.left = put(x.left, key, val);	else if( cmp > 0 ) x.right = put( x.rigth, key, val);	else if ( cmp = 0 ) x.val = val;	return x;}

时间复杂度：

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